等比数列知识点总结与典型例题

1、等比数列的定义：anqq0n

2,且nN_，q称为公比an

12、通项公式：ana1qn1a1qnABna1q0,AB0，首项：a1；公比：qq推广：anamqnmqnmanqannmamam

3、等比中项：

如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2ab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个

数列an是等比数列an2an1an

14、等比数列的前n项和Sn公式：

当q1时，Snna

当q1时，Sna11qna1anq1q1qa11a1qnAABnABnA(A,B,A,B为常数)1qq

5、等比数列的判定方法：

用定义：对任意的n，都有或an1为常数，an0)an为等比数an1qanq(qan列

等比中项：an2an1an1(an1an10)an为等比数列

通项公式：anABn0an为等比数列AB

6、等比数列的证明方法：依据定义：若anqq0n2,且nN_或an1qanan为等比数列an

17、等比数列的性质：

对任何m,nN_，在等比数列an中，有anamqnm。

若mnst(m,n,st,N_)，则anamasat。特别的，当mn2k时，得anamak2注：a1ana2an1a3an2等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义an1andan1q(q0)an递推公anan1d；

anamnmdanan1q；anamqnm式通项公ana1(n1)dana1qn1(a1,q0)式中项ankank(n,kN_,nk0)Gankank(ankank0)(n,k_,nk0)A2NSnn(a1an)na1(q1)2前n项和Sna11qna1anqn(n1)2)Snna1d1q1(q2q重要amanapaqaaapaqmn性质(m,n,p,qN_,mnpq)(m,n,p,qN_,mnpq)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1等比数列an中，a1a964,a3a720,求a

1.1思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a1和q，可得a11；或注意到下标1937，可以利用性质可求出a

3、a7，再求a

1.1解析：法一：设此数列公比为a1a9a1a1q864

q，则a1q2a1q6a3a720

由

得：a1q2(1q4)

20.

a

10.由

得：(aq4)264,aq

4.8

1

得：1q4205q28，22q45q220,解得q22或q21当q2aq1022时，a12，a64；111当q21时，a132，a11a1q

1.2法二：a1a9a3a764,又a3a720,a

3、a7为方程_220_640的两实数根，a316或a34a74a716a3a11a72,a11a721或a1

6.4a3总结升华：列方程(组)求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三：an为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。

96法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，q=2，a6=96；2法二：a5=a1a9a5=48q=2，a6=96。

an为等比数列，an0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。64；a1a89a45216，又an0，a45=4aa45a46a364。

4445已知等比数列a，若a1a2a37，a1a2a38，求a。nnan2n1或an23n；法一：a1a3a22，a1a2a3a238，a22从而a1a351，a4或a4，a1,解之得aa1a341313当a11时，q2；

当a14时，q1。2故a2n1或a23n。nn法二：由等比数列的定义知a2a1q，a3a1q2代入已知得a1a1qa1q27a1a1qa1q28a1(1qq2)7,a1(1qq2)7,

a13q38a1q2

将a12代入

得2q25q20，q解得q21或q2a11a14由

得1，以下同方法一。q或q22类型二：等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn，若S3 S6=2S9，求数列的公比q.解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a

1.因a10，得S3 S62S9，显然q=1与题设矛盾，故q

1.由S3S62S9a1(1q3)a1(1q6)2a1(1q9)得，1q，1q1q整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3 1)(q3-1)=0，因q31，故q31，所以q34。

22举一反三：求等比数列1,1,1,的前6项和。39364；2431，n6，qa113XXXX6116S633XXXX1364。

123XXXX4313已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S

5.121121或；3a(1q3)11或27a23，13q3qa21q3，则a1=1或a1=935XXXX5121或.S5121SXXX在等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求n和q。

q1或2，n6；2a2an1a1an，a1an128解方程组a1an128，得a164a12a1an66或an2an64将a164a1anq，得q1an代入Sn1q，22由ana1qn1，解得n6；

将a12代入Sna1anq，得q2，an641q由ana1qn1，解得n6。q1或2，n6。2类型三：等比数列的性质例

3.等比数列an中，若a5a69,求log3a1log3a

XXX

10.解析：an是等比数列，a1a10a2a9a3a8a4a7a5a69log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a3a10)log3(a5a6)5log39510举一反三：正项等比数列an中，若a1a100=100;则lga1 lga2 lga100=_.100；

lga1 lga2 lga3 lga100=lg(a1a2a3a100)而a1a100=a2a99=a3a98=a50a51原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。

在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。32216；法一：设这个等比数列为an，其公比为q，a18，a527a1q48q4，q481，q293XXXX6433aaaaqaq2aq3a3q689XXXX3216。

234XXXX1134法二：设这个等比数列为a，公比为q，则a18，a527，n32加入的三项分别为a2，a3，a4，由题意a1，a3，a5也成等比数列，aXXX，故a36，32a2a3a4a32a3a33216。

类型四：等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，

第2个k项和，

第3个k项和，，

第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一：令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n观察b1=a1 a2 an,b=a a a=q(a a a)，2n 1n 22nn12nb3=a2n 1 a2n 2 a3n=q2n(a1 a2 an)易知b1,b2,b3成等比数列，b3b22122b13，48S3n=b3 S2n=3 60=

6.3法二：S2n2Sn，q1，a1(1qn)1q48由已知得a1(1q2n)1q60得1qn5，即qn144代入得a164，1qS3na1(1q3n)64(113)63。

1q4法三：an为等比数列，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，S3n(S2nSn)2S2n(6048)26063。

Sn48举一反三：等比数列an中，公比q=2,S4=1,则S8=_.17；S8=S4 a5 a6 a7 a8=S4 a1q4 a2q4 a3q4 a4q4=S4 q4(a1 a2 a3 a4)=S4 q4S4=S4(1 q4)=1(1 24)=17已知等比数列an的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求：S30= 130；

法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，(S20-S10)2=S10(S30-S20)即302=10(S30-40),S30=

30.法二：2S10S20，q1,Sa(1q10)1101q1q101,q101q204Sa(1q30)1301q10a1(1q20),S40,201qa13,51q

(133)

30.等比数列an的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求XXX，q1(否则Sn1S2n6560S2n)2Sna1(1qn)=80.

1qS2na1(1q2n)=6560.

，1q

得：1 qn=82,qn=

8.

该数列各项为正数，由

知q1an为递增数列，an为最大项

5.4an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.

a154q2q代入

得2q(181)80(1q)，8133q=3,n=

4.等比数列an中，若a1 a2=324,a3 a4=36,则a5 a6=_.4；令b1=a1 a2=a1(1 q)，b2=a3 a4=a1q2(1 q),b3=a5 a6=a1q4(1 q),易知：b1,b2,b3成等比数列，b3=bXXX=4,即a a=

4.b1324等比数列an中，若a1 a2 a3=7,a4 a5 a6=56,求a7 a8 a9的值。448；33an是等比数列，(a4 a5 a6)=(a1 a2 a3)q,q=8,a7 a8 a9=(a4 a5 a6)q3=568=4

4.8类型五：等差等比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列，若前两项不变，

第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的

第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为a-d,a,a d.则a-d,a,a d 32成等比数列，a-d,a-4,a d成等比数列.a2(ad)(ad32)..

(a4)2(ad)(ad).

由

得a=d

8由

得32a=d2 32d.

代

消a，解得d8或d=

8.8263当da；当d=8时,a=10时,93原来三个数为2,26,338或2,10,50.9992，则a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,aq2-32成等比数列法二：设原来三个数为a,aq,aq2aqaaq2

3.2

4)2a(aq2(aq32).

由

得a2，代入

解得q=5或q=13q42当q=5时a=2；当q=13时a.9原来三个数为2，10，50或2，26,3

3.8999总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a d；若三数成等比数列，可设此三数为_，_,_y。

但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解y决问题反而简便。举一反三：一个等比数列有三项，如果把

第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的

第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.为2，6，18或2,10,50；999设所求的等比数列为a，aq，aq2；

则2(aq 4)=a aq2，且(aq 4)2=a(aq2 32)；解得a=2，q=3或a2，q=-5；9故所求的等比数列为2，6，18或2,10,50.999已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

1、

3、9或

1、

3、9或

9、

3、1或

9、

3、1设这三个数分别为a,,，aaqqaaaq27a3由已知得qa2(12a2q21)9122q291q2aaq得9q482q290，所以q29或q21，9即q13或q3故所求三个数为：

1、

3、9或

1、

3、9或

9、

3、1或

9、

3、1。有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且

第一个数与

第四个数的和是16，

第二个数与

第三个数的和为12，求这四个数.0，4，8，16或15，9，3，1；设四个数分别是_,y,12-y,16-_2y_12y.

y)2y(16_).

(12由

得_=3y-12，代入

得144-24y y2=y(16-3y 12)144-24y y2=-3y2 28y,4y2-52y 144=0,y2-13y 36=0,y=4或9，_=0或15，四个数为0，4，8，16或15，9，3，

1.类型六：等比数列的判断与证明例6已知数列an的前n项和Sn满足：log5(Sn 1)=n(nN ),求出数列an的通项公式，并判断an是何种数列 思路点拨：由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.解析：log5(Sn 1)=n,Sn 1=5n,Sn=5n-1(nN ),111a=S=5-1=4,当n2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1n-11-1而n=1时，45=45=4=a,1nN 时，an=45n-1由上述通项公式，可知an为首项为4，公比为5的等比数列.举一反三：已知数列C，其中C=2 3，且数列C-pC为等比数列，求常数p=2或p=3；

Cn 1-pCn是等比数列，对任意nN且n2，有(Cn 1-pCn)2=(Cn 2-pCn 1)(Cn-pCn-1)Cn=2n 3n,(2n 1 3n 1)-p(2n 3n)2=(2n 2 3n 2)-p(2n 1 3n 1)(2n 3n)-p(2n-1 3n-1)即(2-p)2n (3-p)3n2=(2-p)2n 1 (3-p)3n 1(2-p)2n-1 (3-p)3n-1整理得：1(2p)(3p)2n3n0,解得：p=2或p=3,6显然Cn 1-pCn0，故p=2或p=3为所求.设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an bn,证明数列Cn不是等比数列.设数列an、bn的公比分别为p,q，且pq为证Cn不是等比数列，只需证C1C3C

2.2C2(apbq)2a2p2b2q22abpq,XXXC1C3(a1b1)(a1p2b1q2)a12p2b12q2a1b1(p2q2)C1C3C22a1b1(pq)2,又pq,a10,b10,C1C3C220即C1C3C22数列Cn不是等比数列.判断正误：

an为等比数列a7=a3a4；

若b2=ac，则a，b，c为等比数列；

an，bn均为等比数列，则anbn为等比数列；

an是公比为q的等比数列，则a

2、1仍为等比数列；nan