椭圆
1．椭圆的定义：把平面内与两个定点F
1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c).
2.椭圆的标准方程：
yy
MF2
cccO_F1F2OcM_F1_2y2y2_2?2?1（a＞b＞0）2?2?1（a＞b＞0）2abab焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为m_ ny=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程
3.求轨迹方程的方法:定义法、待定系数法、相关点法、直接法
例1如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向_轴作垂线段PP?,求线段PP?中点M的轨迹.y解:(相关点法)设点M(_,y),点P(_,y),
y则_＝_0,y＝0得_0＝_，y0＝2y.
2∵_0＋y0＝4,得_＋(2y)＝4,
PMOP?_2即?y?1.所以点M的轨迹是一个椭圆.4_
2222
4.范围._≤a，y≤b，∴|_|≤a，|y|≤b．椭圆位于直线_＝±a和y＝±b围成的矩形里．
5.椭圆的对称性
椭圆是关于y轴、_轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
6.顶点只须令_＝0，得y＝±b，点B1(0,_b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得_＝±a，点A1(_a,0)、A2(a,0)是椭圆和_轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(_a,0)、A2(a,0)、B1(0,_b)、B2(0,b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.a叫做椭圆的
y长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．
B2|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．
222baA在Rt△OB2F2中，|OF2|＝|B2F2|_|OB2|，A12222
c即c＝a_b．_F1OF2
B11.若椭圆的连个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为（）
112A.B.C.D.无法确定633
_2y22.椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1(?c,0)，A(?a,0)、B(0,b)是两个顶点，ab
b如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e?.7_2y23.求经过点M(1,2)，且与椭圆??1有相同的离心率的椭圆的标准方程.
126y(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b?a2?c2越小，因此椭圆越扁；(2)当e越接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆越接近于圆；
O_(3)当且仅当a?b时，c?0，两焦点重合，图形变为圆，方程成为_2?y2?a2.
_2y22.已知P为椭圆??1上的点，F1，F2为左右焦点，PF1?PF2，4520__)求S?PF1F2;(2)求P点坐标.
椭圆典型例题
例1已知椭圆m_2?3y2?6m?0的一个焦点为（0，2）求m的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c?2，根据关系a?b?c可求出m的值．
222_2y2??1．因为焦点在y轴上，所以2m?6，解得m?3．解：方程变形为
62m又c?2，所以2m?6?2，m?5适合．故m?5．
例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P?3，0?，a?3b，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数a和b（或a和b）的值，即可求得椭圆的标准方程．
222_2y2解：当焦点在_轴上时，设其方程为2?2?1?a?b?0?．
ab由椭圆过点P?3，0?，知
9022a?3b??1b?1a?9，故椭圆的方．又，代入得，22ab_2?y2?1．程为9y2_2当焦点在y轴上时，设其方程为2?2?1?a?b?0?．
ab由椭圆过点P?3，0?，知
9022a?3b??1a?81b?9，故椭圆．又，联立解得，22aby2_2??1．的方程为
819
例3?ABC的底边BC?16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．
分析：（1）由已知可得GC?GB?20__利用椭圆定义求解．
（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．
BC中点为原点建立直角坐标系．解：（1）以BC所在的直线为_轴，设G点坐标为?_，y?，
由GC?GB?20__G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a?10，
c?8，有b?6，
_2y2??1?y?0?．故其方程为
10036_?2y?2??1?y??0?．①（2）设A?_，y?，G?_?，y??，则
10036??__?，?_2y2?3??1?y?0?，由题意有?代入①，得A的轨迹方程为其轨迹是椭圆（除
y900324?y???3?去_轴上两点）．
例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解：设两焦点为F1、F2，且PF1?4525和，334525，PF2?．从椭圆定义知332a?PF1?PF2?25．即a?5．
从PF2F1中，1?PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt?PFsin?PF1F2?PF21?，PF12可求出?PF1F2??6，2c?PF1?cos?6?1025222，从而b?a?c?．
33_23y23_2y2??1或??1．∴所求椭圆方程为
510105_2y2例5已知椭圆方程2?2?1?a?b?0?，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是椭
ab圆上一点，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面积（用a、b、?表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角?的两邻边，从而利用S??1absinC求面积．2解：如图，设P?_，y?，由椭圆的对称性，不妨设P?_，y?，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：F1F222?PF1?PF2?2PF1·PF2cos??4c．①
222b2由椭圆定义知：PF．1?PF2?1?PF2?2a②，则②_①得PF1?cos?2故S?F1PF2
1?12b2?PF1?PF2sin??sin??b2tan．2221?cos?例6已知动圆P过定点A??3，0?，且在定圆B：?_?3??y2?64的内部与其相内切，求动
2圆圆心P的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，
即定点A??3，0?和定圆圆心B?3，0?距离之和恰好等于定圆半径，
即PA?PB?PM?PB?BM?8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
_2y2??1．半长轴为4，半短轴长为b?4?3?7的椭圆的方程：
16722说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
_2?y2?1例7已知椭圆2（1）求过点P?，?且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A?2，1?引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ??求线段PQ中点M的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为M?_
1，y1?，N?_
2，y2?，线段MN的中点R?_，y?，则
?11??22?1，2
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