九年级反比例函数中的几何图形存在性问题归纳总结.docx

专题反比例函数中的几何图形存在性问题

1、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数（叱0）与反比例函数尸鸟（启0）的图象交于第二、四象限乩5两点，过点月作曲_L_轴于止=4,sn冷，且点5的坐标为（m-2.5

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)5是y轴上一点，且月比是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的七点坐标.3【解答】

(1)一次函数y=4田6与反比例函数丫=典图象交于月与5且出ZL_轴,_：.ZADO=90,在RtZLW中，出?=4,snZAOD=.即47=5,5A05根据勾股定理得：加=叱11=3,：.A（-3,4）,代入反比例解析式得：力=-12,即y=-22,把5坐标代入得：a=6,即6（6,-2）,代入一次函数解析式得：一孔坨=4,解得:6k b=-22-93，即y---a 2：(2)当。

氏=0Ez=Ag5,即艮(0,-5),瓦(0,5)：.当Q4=月瓦=5时，得至J组=2祖=8,即属（0,8）；当忠=的时，由3（-3,4）,0（0,0）,得到直线月。

解析式为尸-义,中点坐标为（-

1.5,2）,垂直平分线方程为y2得（aH-1）,令_=0,得到尸争，即因（0,零）,综上，当点上（0,8）或（0,5）或（0,-5）或（0,冬）时，月比是等腰三角形.

2、在平而直角坐标系才分中，一次函数，=田8的图象经过点月（-2,0）,与反比例函数丫=区（心0）的图象交于5（a,4.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式：(2)设必是直线四上一点，过M作必_轴，交反比例函数y=k（_0）的图象于点A；

若儿0,M_求点M的坐标.【解答】解：(1):一次函数的图象经过点月（-2,0）,，0=-2 6,得6=2,一次函数的解析式为产=肝2,:一次函数的解析式为产与反比例函数，=区（Q0）的图象交于6（a,4）,，4=a 2,得a=2,_，4=得k=8,即反比例函数解析式为：尸区（Q0）；

2_

(2)二点月（-2,0）,：.OA=2,设点必（m-2,加，点内（呈，血,m当心月。且.力三月0时，四边形月以V是平行四边形，-（m-2）=2，m解得2拆或。

=26 2,，点M的坐标为（2V2-2,2V2）或（26，2 2.

3、一次函数尸当的图象与y轴交于点6（0,2）,与反比例函数尸区（_0）的图象交于点，（出加.以3_加为对角线作矩形的?，使顶点儿C落在_轴上（点月在点。

的右边），BD与AC交于点、区

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)求点4的坐标.的图象与y轴交于点6（0,2）,，6=2,，一次函数的解析式为丫=言黑:2丁5（0，2）,，如=2,作DELO5于E:四边形月反刀是矩形，：.BE=XXX,：.OB=OF=2,：.n=-2,-2）在尸鼠 2上tn--3,-3,点。

在片=上上，4=6,，反比例函数的解析式为=旦.

(2)由

(1)可知：OE=M=亳,在Rt反应中，班=422十逆）2rRR在矩形月以力中，AE=BE=y：.OA=AE-EO=-=,：.A(b.222

4、如图，一次函数产=二什6的图象与反比例函数%=上（尤0）的图象交于点尸（出4）,与_轴交于点月_（-3,0）,与y釉交于点G如_1才轴于点6,且

(1)求反比例函数与一次函数的解析式;

(2)反比例函数图象上是否存在点，使四边形5。叨为菱形？如果存在，求出点的坐标：如果不存在，说明理由.【解答】解：(1)9：AC=XXX.月（-3,0）,，。

为四的中点，即。1=05=3,，尸（3,4）,5（3,0）,将尸（3,4）代入反比例解析式得：A=12,即反比例解析式为将月（-3,0）与尸（3,4）代入y=工叶6得：（-3a b=0,解得：方，.一次函数解析式为，.叶2：=4b=2

(2)如图所示,VC（0,2）,如_L_轴，点，的纵坐标为2,把y=2代入y=中，得_=6,得，（6,2）,则点，（6,2.

5、如图，正比例函数y=2_的图象与反比例函数片=区的图象交于月、6两点，过点月作月。垂直_轴于点_3连结5C若月6。

的面积为2.(1)求左的值：(2)_轴上是否存在一点，使板为直角三角）形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请理由.【解答】解：(1)反比例函数与正比例函数的图象相交于月、6两点，.,.月、6两点关于原点对称,：.OA=OB，6%的而枳=A4_的面积=2 2=1,又是反比例函数丫=上图象上的点，且月CL_轴于点G月夕的面积=4，_2k=1,：k3，A=

2.故这个反比例函数的解析式为y=2：2_

(2)_轴上存在一点。，使月初为直角三角形.将y=2_与y=2联立成方程组得：_V=2_f_=1_2=-42，解得：月（b2）,5（-b-2）,了=vb=21%=-2当时，如图b设直线的关系式为尸-畀8,将3（1,2）代入上式得：仁!一直线段的关系式为产乙乙乙52，令y=0得：_=5,：.D（5,0）：当班_5时，如图2,设直线班的关系式为尸-畀6,将6（-1,-2）代入上式得：6=-，乙乙，宜线6的关系式为y=-得_-,令尸=0得：_=n-5/?（-50）：乙乙当助J_物时，如图3,为线段四的中点，AOD=AB=OA,9：A（h2）,：.OC=1,AC=2,2由勾股定理得：oa=T0c2十ac2=Vs_a?=，。

W

5..根据对称性，当为直角顶点，且。在_轴负半轴时，。（-石，.存在一点，使月即为直角三角形，点。的坐标为（5,0）或（-5,0）或（旗，0）或（-泥，0）

6、如图，已知反比例函数y=Z的图象与正比例函数y=_的图象交于点4（m,-2._

(1)求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点6的坐标：(2)试根据图象写出不等式2，几的解集：_

(3)在反比例函数图象上是否存在点。，使为等边三角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.：.A（-1,-2）代入y=A_,-2=A_（-1）,解得，k=2,：.y=2_,又由2_=2,得才=1或才=-1（舍去），2）,_

(2),:k=2,为222M根据图象可得：当_W-1和0_1时，反比例函数y=2的图象恒在正比例函数y=2_图象的上方,_即222乂_

(3)当点。在第一象限时，宏。不可能为等边三角形，如图，当。在第三象限时，要使为等边三角形，则）=%,设。（t,2）（to）,J9：A（-b-2）A0A=f5，a士=5,贝j-4=0,tr=,t=-1,此时。

与月重合，舍去，f=4,=-2,-2,-1）,而此时月46，ACAO.，不存在符合条件的点C

7、反比例函数y=上在第一象限的图象如图所示，过点月（1,0）作_轴的垂线，交反比例函数尸身的图象于点M40面积为3.(1)求反比例函数的解析式；

(2)设点6的坐标为(30),其中tl.若以45为一边的正方形皿有一个顶点在反比例函数7=区_【解答】解：(1)月的的面积为3,4|=3,而Q0,，4=6,反比例函数解析式为y=22_

(2)当以月5为一边的正方形月547的顶点。在反比例函数旷=反的图象上，点与“点重合，即AB=AM._把_=l代入y=互得y=6,点坐标为（1,6）,.

XXX 6=7：_当以四为一边的正方形际刀的顶点。在反比例函且的图象上，则月1,_二。点坐标为（t,t-1）,（t-1）=6,整理为f--6=0,解得t_=3,t2=-2（舍去），=3,以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数旷=区的图象上时，t的值为7或

3._

8、如图，反比例函数的图象经过点A（-2相，1）,射线相与反比例函数的图象的另一个交点为6（-ba）,射线月。与_轴交于点七与y轴交于点aN加e=75,血江y轴，垂足为。

.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求。的长；

(3)在_轴上是否存在点尸，使得川吃与月Q?相似，若存在，请求出满足条件点尸的坐标，若不存在，请说明理由解：反比例函数尸与的图象经过点A（-

2、”，1）,.4=-

2.6反比例函数的解析式为：行2;

(2)过点6作忆助于必，把5（-1,a）代入了二得a=2点，_：.B（-1,2V3），儿”=笈仁2愿-1,胡=45,JoTN胡6-75,AC=75-45=30,=4tanNZ7=2_j_=2：(3)存在，如图，：OC=CD-0D=3：.OE=OC=退,当胪L_釉时，加艺如，则：OP.=AD=

2.2：.P,（-2畲，0）,当_1_月时，4APE4DCA,:期=1,N月月月=90-30=60，P2P广AP taP2P1=1士正当则22=（，。

），综上所述，满足条件点尸的坐标为（-2寸,0）,（g_,.

9、如图，在平面直角坐标系中，一次函数乂=4肝6（AKO）的图象与反比例函数七寸血中0）的图象相交于第一、三象限内的月（3,5）,B（a,-3）两点，与_轴交于点。

.

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式：

(2)直接写出当切於时，_的取值范围；

(3)在y轴上找一点尸使融-尸。最大，求所-尸。的最大值及点尸的坐标.解：把月（3,5）代入7白加卢0）,可得。

=3_5=15,.反比例函数的解析式为力上：d15把点5（a,-3）代入了=土，可得=-5,，6（-5,-3.4_把月（3,5）,5（-5,-3）代入必,可得，解得，-5k b=-3b=2一次函数的解析式为%=肝2；

(2)当必於时，-5V_V0或_

3.3）一次函数的解析式为外=田2,令_=0,则尸2,.一次函数与y轴的交点为尸（0,2）,此时，PB-PC=BC最大,尸即为所求，令y=0,则_=-2,.0（-2,0）,ABC=V（-5 2）2 32=-

10、如图，一次函数j，=U3（A0）与反比例函数，=至（aWO）的图象在第一象限交于月，6两点，A点、_的坐标为（用，6）,5点的，坐标为（2,3）,连接），过6作6ULy轴，垂足为。

.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)在射线%上是否存在一点。，使得月勿是直角三角形，求出所有可能的。点坐标.解：(1);点5（2,3）在反比例函数y=3的图象上，a=3_2=6,_，反比例函数的表达式为尸表.点月的纵坐标为6点月在反比例函数尸号图象上,：.A(1,6),2k b=3k b=6=-3,，次函数的表达式为尸-；

1

(2)如图，月=90时，设6。与月。交于其则3）,：,AE=OE=D,E=,:E(,3)的坐标为(:,3)；22=90时，可得直线必的解析式为：尸-%手当y=3时，丫=19,，区的坐标为（19,3）,综上所述，当月勿是直角三角形，点坐标为（士豆，3）或（19,3）

1.1如图，直线尸什2与_轴、y轴分别相交于46两点，与双曲线尸石（-y0）相交于点只PCL轴于点。，且R7=4,点月的坐标为（-4,.

(1)求双曲线的解析式：(2)若点。为双曲线上点尸右侧的一点，过点。作矶_轴于点4,当以点。，34为顶点的三角形与月缈相似时，求点Q的坐标,疗解：(1)把月（-4,0）代入y=a田2,得，-4a 2=0,解得8=工，2故直线相的解析式为尸2,把片=4代入乂=畀2,得，92=4,解得_=4,.点尸（4,4.乙乙乙把尸（4,4）代入y=区，得A=16,故双曲线的解析式为y=；

(2)把_=0代入尸=,得y=2,，点6的坐标为（0,2）,:.OB=2,9：A（-4,0）,

2.04=4,设。（血）,则QH=,由题意可知N月（25=90,mm16当物幽时，型q,即工支，0A0B42解得：g=2 2南，公=2-26（不合题意，舍去），16，点。

的坐标为（2 2必，招月-4）,当9时，.嘿,即段-=1,解得以=8,无=-4（不合题意，舍去），点。的坐标为（8,2.综上可知，点。

的坐标为（2 273，473-4）或（8,2.12、如图

(1),正方形3顶点乩6在函数y=K（A0）的图象上，点0、。分别在天轴、y轴的正半_轴上，当A的值改变时，正方的大小也随之改变.图图

(1)若点月的横坐标为5,求点。的纵坐标：(2)如图

(2),当4=8时，分别求出正方形4BC的顶点H、B两点的坐标：(3)当变化的正方形血与

(2)中的正方形HBCD有重叠部分时，求A的取值范围.解：(1)如图，过点月作花_Ly轴于点瓦=9.图;四边形血。

为正方形，:.AD=DC,N血?C=90,：DCDA=9G.：4ODCD=90,：.4EDACDED二ND。在血和中DACD.:._AED_DOCAAS),：.OD=EA=b,，点。

的纵坐标为5；AD二DC

(2)作HJLy轴于M5,ACL_轴于点N,图设加=a,0Cr=b,同理可得$C2_CDOAArDfE,：.CN=ODf=XXX,BfN=Cf0=DrM=b.：.Af(a,升b),Br(a 6,6),丁点H、Bf在反比例函数y=的图象上，(a 6)=8,6(a b)=8,_，解得a=b=2或a=6=-2(舍去)，..H、B两点的坐标分别为(2,4),(4,2)；

(3)设直线HS的解析式为y=叶m把月(2,4),B(4,2)代入得42m切二4,解得严-1,，直线5,解析式为尸一公6,4m n=2n=6同样可求得直线D解析式-廿2,由

(2)可知是等腰直角三角形，设点力的坐标为(出2加，点。坐标为(0,加，当月点在直线Df上时，则2片-加2,解得m=三，此时点月的坐标为彦，当，33394R当点在直线HBf上时，有片6,此时点月的坐标为(6,12),339=6_12=72：综上可知：当变化的正方形皿与

(2)中的正方形HBC有重叠部分时，A的取值范围成W_W

7.2913、如图，一次函数y=的图象与反比例函数，=区（4H0）在第一象限的图象交于月（1,a）和6两点，与才轴交于点U

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点尸在_轴上，且月尸。的面积为5,求点尸的坐标：(3)若点尸在y轴上，是否存在点八使月明是以相为一直角边的直角三角形？

若存在，求出所有符合条件的尸点坐标：若不存在，请说明理由.J4解：(1)把点月（1,a）代入y=-户3,得a=2,：.A（b2）把月（1,2）代入反比例函数了=上，A=1_2=2：J反比例函数的表达式为(2)一次函数尸肝3的图象与_轴交于点C,，C（3,0）,设尸(as0),：.PC=3-_,，S4年=|3乙-_义2=5,，_=-2或_=

8.，尸的坐标为（-2,0）或（8,0）：(3)存在，理由如下：联立y=-_ 32，解得:y=勺二1或yL=2_l=2”,点坐标为（2,1）,%二1丁点尸在y轴上，设尸（0,加,9=也1-2)2十

(27)2=61-0)2 (2f)2,2-0)2M1f)2,若如为斜边，：.BP=AffAP,叩(V(2-0)2 (l-m)2)2=2 (V(l-0)2 (2-m)2)2,解得：m=l,：.P(0,1)：若相为斜边，：.AP=PBAB,即(V(l-0)2 (2-m)2)2=(V(2-0)2 (l-m)2)2 2_解得：m=7,：.P(0,-1)：综上所述：尸（0,1）或P（0,-1.14、如图，在平而直角坐标系才分中，已知点月坐标(2,3),过点看作月Al_轴，垂足为点留交反比例函数在第一象限的图象于点5,且满足绘=

XXX

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)点。在牙正半轴上，点，在该反比例函数的图象上，且四边形阳是平行四边形，求点。坐标.解：点片坐标(2,3),：.AH=Z,.胆=2,BHAB=2,，点5(2,1),设反比例函数的解析式为尸上(AHO),_丁点S在反比例函数的图象上，_k=2_1=2,，反比例函数的解析式为y=2：_

(2)四边形皿是平行四边形,：.ADAB=CD=2,恕，才轴，:.L_轴,.点。纵坐标2,点。坐标(1,2.