弦切角定理的证明

第一篇：弦切角定理证明

弦切角定理证明

弦切角定理

编辑本段弦切角定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）

如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：

证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）

∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠tcb(敬请期待更好文章：WWW.)=∠cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.

求证：(弦切角定理)

证明：分三种情况：

(1)圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

若在优弧m所对的劣弧上有一点e

那么，连接ec、ed、ea

则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圆心o在∠bac的外部,

过a作直径ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60,ab=a求bc长.

解：连结oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30

∴bc=1/2a(rt△中30角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.

求证：ef∥bc.

证明：连df.

ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，

求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

证明：∵ab是⊙o直径

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b，

∵mn切⊙o于c

∴∠mca=∠b，

∴∠mca=∠acd，

即ac平分∠mcd，

同理：bc平分∠ncd.

第二篇：弦切角定理的证明

弦切角定理的证明

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d，

则∠tcb=∠cda

∵∠tcb=90-∠ocd

∵∠boc=180-2∠ocd

∴,∠boc=2∠tcb

证明：分三种情况：

(1)圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

(2)圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

那么

.

(3)圆心o在∠bac的外部,

过a作直径ad交⊙o于d

那么

2

连接并延长to交圆o于点d，连接bd因为td为切线，所以td垂直tc，所以角btc+角dtb=90因为td为直径，所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a

3

编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb=∠cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角b点应在a点左侧(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30∴bc=1/2a(rt△中30角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连XXX是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.

第三篇：弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

(1)连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

(2)连接bc，且作ce⊥ab于点e。立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac=ae_ab。又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac=ab_ad。

第一题重新证明如下：

首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有

∠acd+∠aco=90

=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)

=(1/2)(2∠aco+∠aoc)

=∠aco+(1/2)∠aoc,

所以∠acd=(1/2)∠aoc，

而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，

得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90，∠cad=∠cab，

所以有∠cab+∠cba=90，得∠bca=90，进而ab为⊙o的直径。

2

证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.

求证：(弦切角定理)

证明：分三种情况：

(1)圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

若在优弧m所对的劣弧上有一点e

那么，连接ec、ed、ea

则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圆心o在∠bac的外部,

过a作直径ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60,ab=a求bc长.

解：连结oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30

∴bc=1/2a(rt△中30角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.

求证：ef∥bc.

证明：连df.

ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，

求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

证明：∵ab是⊙o直径

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b，

∵mn切⊙o于c

∴∠mca=∠b，

∴∠mca=∠acd，

即ac平分∠mcd，

同理：bc平分∠ncd.

第四篇：弦切角的逆定理的证明

弦切角逆定理证明

已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线

证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，

则角adc=角abc=角cae

而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae

所以角dae=角dac+角cae=90度

故ae为切线

第五篇：弦切角、切割线、相交弦三条圆这一章已删定理的证明

肯特教育欢迎各位朋友批评指正，王XX182XXXX0373

弦切角、切割线、相交弦

三条圆这一章已删定理的证明

一、弦切角定理

1、弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图（1）所示，ab为圆的一条弦，bc为圆的切线，∠abc即为圆的的弦切角。

图（1）

bc

2、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半。证明如下：

a

图（2）

如图（2）所示，已知ab为⊙o的直径，bd为过圆上b点的切线，求证：（1）∠cbd=∠cab,∠cbd=∠ceb（2）∠cbd=∠cob21证明：（1）∵ab为⊙o的直径，bd为过b点的切线∴ab⊥bd

∴∠abd=90o

第1页共1页

肯特教育欢迎各位朋友批评指正，王XX182XXXX0373∴∠abc＋∠cbd=90

∵ab为⊙o直径

∴∠acb=90

则∠abc＋∠cab=90

∴∠cbd=∠cab

∵∠cab和∠ceb同弧所对的圆周角∴∠cab=∠ceb

则∠cbd=∠ceb

（2）∵∠cab和∠cob是同弧所对的圆周角和圆心角∴∠cab=∠cob21

又∵∠cbd=∠cab

∴∠cab=∠cob21

二、切割线定理及推论

1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。证明如下：

图（3）

如图（3）所示，直线pa与圆相切于a点，直线pc与圆相交于b、c两点，求证：pa2=pb?pc

证明：连结ba、ca

∵pa为圆的切线∴∠pab=∠pca（弦切角定理）

∵∠pab=∠pca，∠bpa=∠apc（公共角）∴△pab∽△pca

∴pa

pc=pb

pa

∴pa2=pb?pc